行列式（Determinant） 是线性代数中描述方阵（Square Matrix）核心性质的重要标量值，记为 det(A) 或 |A|。它不仅与矩阵的可逆性相关，还蕴含了几何和代数上的深刻意义。以下是详细解释：

1. 代数定义与计算

定义：
行列式是一个从方阵到实数的函数，满足以下性质：

• 线性性：对矩阵的每一行是线性的。

• 交替性：交换两行会改变符号。

• 规范性：单位矩阵的行列式为1。

计算公式（以2×2和3×3为例）：

• 2×2矩阵：
  $$ \det\left( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \right) = ad - bc $$
  几何意义：绝对值表示由矩阵列向量张成的平行四边形的面积。

• 3×3矩阵（萨内法则/Sarrus Rule）：
  $$ \det\left( \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \right) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) $$
  几何意义：绝对值表示由列向量张成的平行六面体的体积。

2. 核心性质

1. 可逆性判定：

• 当且仅当 $\det(A) \neq 0$ 时，矩阵 $A$ 可逆（非奇异矩阵）。

• 若 $\det(A) = 0$，则 $A$ 是奇异矩阵，不可逆。

2. 行列式与矩阵运算的关系：

• $\det(AB) = \det(A)\det(B)$

• $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$（若 $A$ 可逆）

• $\det(A^T) = \det(A)$（转置不改变行列式）

3. 行列式与特征值：

• 行列式等于所有特征值的乘积：$\det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$。

3. 几何意义

• 缩放因子：矩阵 $A$ 对应的线性变换将空间的体积缩放 $|\det(A)|$ 倍。

• 若 $\det(A) = 2$，则体积膨胀为原来的2倍；

• 若 $\det(A) = -1$，则体积不变但方向反转（镜像反射）。

• 方向判定：行列式的符号表示线性变换是否改变了空间的定向。

4. 应用场景

1. 解线性方程组：

• 克拉默法则（Cramer's Rule）利用行列式直接求解方程组的解。

• 例如，对 $Ax = b$，若 $\det(A) \neq 0$，则解为 $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$，其中 $A_i$ 是将 $A$ 的第 $i$ 列替换为 $b$ 后的矩阵。

2. 判断线性相关性：

• 若 $\det(A) = 0$，则矩阵的列向量线性相关。

3. 计算面积/体积：

• 二维平面上，向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 张成的平行四边形面积为 $|\det([\vec{u} \ \vec{v}])|$。

• 三维空间中，三个向量张成的平行六面体体积为 $|\det([\vec{u} \ \vec{v} \ \vec{w}])|$。

4. 特征值与稳定性分析：

• 在微分方程或动力系统中，行列式用于分析平衡点的稳定性。

5. 特殊矩阵的行列式

6. 快速记忆技巧

• 2×2矩阵：对角线乘积相减（"ad - bc"）。

• 行列式为0的直观理解：矩阵对应的线性变换将空间压缩到更低维度（如平面压缩成直线）。

• 符号判定：右手系变左手系时行列式为负。

7. 经典例题

题目：计算矩阵 $$$$ \det\left( \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \right)$$ 的行列式，并解释其几何意义。
解答：
$$ \det\left( \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \right) = (2)(4) - (3)(1) = 8 - 3 = 5 $$
$$ \text{几何意义：矩阵的列向量 } \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \text{ 和 } \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \text{ 张成的平行四边形面积为 } 5. $$

总结：行列式是矩阵的“指纹”，既揭示矩阵的可逆性，又量化线性变换对空间的缩放和定向影响。理解行列式是掌握线性代数核心思想的关键一步！