Nelson-Siegel 模型详解

1. 概述

Nelson-Siegel 模型是一种用于**收益率曲线（Yield Curve）**建模的方法，它由 Charles Nelson 和 Andrew Siegel 在 1987 年提出，旨在以参数化方式描述不同到期期限（Maturity）的债券收益率。

该模型是一种指数衰减形式的收益率曲线模型，能够以较少的参数捕捉收益率曲线的主要形态，如：

• 短期利率水平（Level）

• 中期利率曲度（Curvature）

• 长期利率趋势（Slope）

2. Nelson-Siegel 公式

Nelson-Siegel 模型用一个 4 参数函数表示即期收益率曲线（Spot Yield Curve），其数学表达式为：

$$y(\tau) = \beta_0 + \beta_1 \frac{1 - e^{-\tau/\lambda}}{\tau/\lambda} + \beta_2 \left( \frac{1 - e^{-\tau/\lambda}}{\tau/\lambda} - e^{-\tau/\lambda} \right)$$

其中：

• $y(\tau)$：期限为 $\tau$ 的即期收益率（Spot Rate）

• $\beta_0$：长期收益率（长期因子，Level）

• $\beta_1$：短期收益率的影响（Slope）

• $\beta_2$：中期收益率的影响（Curvature）

• $\lambda$：决定曲率的参数（控制中期收益率的峰值位置）

其中两个关键项：

1. 衰减项 $\frac{1 - e^{-\tau/\lambda}}{\tau/\lambda}$

• 反映短期利率的变化，随着 $\tau$ 增大，该项趋向于 1。

2. 曲度项 $\left( \frac{1 - e^{-\tau/\lambda}}{\tau/\lambda} - e^{-\tau/\lambda} \right)$

• 形成收益率曲线的**“凸起”**，即中期收益率峰值。

3. Nelson-Siegel 参数解释

• $\beta_0$ 大 → 整体收益率水平高

• $\beta_1$ 大 → 短期收益率高，曲线陡峭

• $\beta_2$ 大 → 曲线在中期有明显“凸起”

• $\lambda$ 小 → 中期峰值出现在较短的期限

4. Nelson-Siegel 模型的收益率曲线形态

• 正常（Upward Sloping）：$\beta_1$ > 0，短期利率低，长期利率高。

• 倒挂（Inverted）：$\beta_1$ < 0，短期利率高，长期利率低（可能预示经济衰退）。

• 驼峰形（Humped）：$\beta_2$ > 0，中期利率高于短期和长期利率（经济调整期）。

5. Nelson-Siegel 模型的估计方法

由于 Nelson-Siegel 模型是非线性回归问题，需要使用优化算法来估计参数：

• 最小二乘法（OLS）

• 非线性最小二乘法（Nonlinear Least Squares, NLS）

• 最大似然估计（MLE）

Python 实现

可以使用 scipy.optimize.curve_fit 进行参数估计：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

# Nelson-Siegel 公式
def nelson_siegel(tau, beta0, beta1, beta2, lambd):
    return beta0 + beta1 * (1 - np.exp(-tau / lambd)) / (tau / lambd) + beta2 * ((1 - np.exp(-tau / lambd)) / (tau / lambd) - np.exp(-tau / lambd))

# 生成模拟数据（期限 & 真实收益率）
tau_values = np.array([0.25, 0.5, 1, 2, 5, 10, 20])
true_params = [3.0, -1.5, 2.0, 1.5]  # 真实参数
y_values = nelson_siegel(tau_values, *true_params) + np.random.normal(0, 0.2, len(tau_values))  # 添加噪声

# 估计参数
popt, _ = curve_fit(nelson_siegel, tau_values, y_values, p0=[2, -1, 1, 2])

# 预测曲线
tau_fit = np.linspace(0.1, 30, 100)
y_fit = nelson_siegel(tau_fit, *popt)

# 绘制结果
plt.scatter(tau_values, y_values, color='red', label='Observed Data')
plt.plot(tau_fit, y_fit, label='Nelson-Siegel Fit', color='blue')
plt.xlabel('Maturity (Years)')
plt.ylabel('Yield (%)')
plt.legend()
plt.title('Nelson-Siegel Yield Curve Fit')
plt.show()

print(f"Estimated Parameters: beta0={popt[0]:.2f}, beta1={popt[1]:.2f}, beta2={popt[2]:.2f}, lambda={popt[3]:.2f}")

6. Nelson-Siegel 的扩展

1. Svensson Model（Nelson-Siegel-Svensson，NSS）：

   $$y(\tau) = \beta_0 + \beta_1 \frac{1 - e^{-\tau/\lambda_1}}{\tau/\lambda_1} + \beta_2 \left( \frac{1 - e^{-\tau/\lambda_1}}{\tau/\lambda_1} - e^{-\tau/\lambda_1} \right) + \beta_3 \left( \frac{1 - e^{-\tau/\lambda_2}}{\tau/\lambda_2} - e^{-\tau/\lambda_2} \right)$$

• 扩展 Nelson-Siegel 模型，增加一个额外的曲度参数 $\beta_3$，用于更精细调整长端曲线：

2. 动态 Nelson-Siegel（DNS）：

• 允许参数 $\beta_0, \beta_1, \beta_2, \lambda$ 随时间变化，从而用于收益率预测（Diebold & Li, 2006）。

7. Nelson-Siegel 模型的优缺点

✅ 优点：

• 简单易用，仅需 4 个参数即可描述收益率曲线

• 可解释性强，对应长期、中期、短期的影响因素

• 计算效率高，适用于大规模金融市场分析

❌ 缺点：

• 灵活性有限，不能精确拟合极端形态（如双驼峰曲线）

• 参数估计非线性，优化可能不稳定

• 长端精度较低，因此 Svensson 模型更受欢迎

8. 应用场景

国债收益率曲线建模（美联储、欧洲央行广泛采用）
金融资产定价（债券、衍生品估值）
利率风险管理（银行、保险公司使用）
货币政策分析（经济学研究）

9. 结论

Nelson-Siegel 模型是收益率曲线建模的经典方法，它通过 4 个参数有效描述了短、中、长期利率的变动趋势，广泛应用于债券市场、货币政策和风险管理领域。

注意：

python中有现成的包可以用于计算：pip install nelson_siegel_svensson