当然，以下是重新整理后的关于 M-Estimation 产生权重的方法 的完整解释：

✅ M-估计中的权重是如何产生的？

M-estimation 是一种稳健回归方法，它通过更换损失函数来减少异常值的影响。其本质是对每个观测点根据其残差（residual）给予不同的权重。

一、M-估计的基本形式

我们最小化以下目标函数：

$$
\min_\beta \sum_{i=1}^n \rho\left(\frac{r_i}{\hat{\sigma}}\right)
$$

• $r_i = y_i - x_i^\top \beta$：残差

• $\rho(u)$：对残差的稳健损失函数

• $\hat{\sigma}$：尺度估计，用于标准化残差

二、权重是怎么来的？

权重是通过残差的导函数（影响函数）间接定义的：

$$
w_i = \frac{\psi(u_i)}{u_i}, \quad u_i = \frac{r_i}{\hat{\sigma}}, \quad \psi(u) = \frac{d\rho(u)}{du}
$$

• $\psi(u)$：称为 ψ 函数（影响函数），是损失函数 $\rho(u)$ 的导数

• $w_i$：就是 M-估计中每个样本点的权重

三、常见的 M-估计损失函数与权重函数

四、在 Python 中获取 M-估计的权重

使用 statsmodels 中的 RLM 类可以直接获取每个样本点的权重：

import statsmodels.api as sm

# 构造数据
X = sm.add_constant(X_data)
model = sm.RLM(y_data, X, M=sm.robust.norms.HuberT())
results = model.fit()

# 获取 M-估计生成的权重
weights = results.weights

你也可以选择不同的 M-estimator，例如：

sm.robust.norms.TukeyBiweight()
sm.robust.norms.Hampel()

五、这些权重有什么意义？

• 权重接近 1：说明该样本点残差较小，可信度高

• 权重接近 0：说明该点可能是异常值，对最终结果影响被减小