地理加权回归（Geographically Weighted Regression，GWR）是一种用于分析空间数据异质性的局部回归技术。以下是对其核心内容的详细讲解：

1. 基本原理

• 核心思想：传统回归假设变量关系全局一致，而GWR允许回归系数随空间位置变化，捕捉空间异质性。

• 模型形式： [ yi = \beta0(ui, vi) + \beta1(ui, vi)x{1i} + \cdots + \betak(ui, vi)x{ki} + \epsiloni ] 其中，((ui, v_i))为第(i)个样本的空间坐标，系数(\beta)随位置变化。

2. 空间权重与带宽选择

• 空间权重矩阵：通过距离衰减函数定义局部影响范围，常用函数包括高斯函数、双平方函数等。例如： [ wj(i) = \exp\left(-\frac{d{ij}^2}{h^2}\right) ] 其中，(d_{ij})为点(i)和(j)的距离，(h)为带宽。

• 带宽选择：通过交叉验证（最小化预测误差）或AIC准则（平衡模型复杂度与拟合优度）优化。

3. 模型估计

• 加权最小二乘法（WLS）：对每个位置(i)，用局部数据估计系数： [ \hat{\beta}(i) = \left(X^T W(i) X\right)^{-1} X^T W(i) Y ] (W(i))为空间权重矩阵，计算量大，常需优化算法或并行计算。

4. 结果解释与可视化

• 系数空间分布图：绘制各变量系数的空间变化，识别区域特异性影响。

• 统计检验：检验系数空间变异性（如蒙特卡洛模拟）及局部显著性。

5. 优缺点

• 优点：

• 揭示变量关系的空间异质性。

• 灵活适应局部特征，提升模型解释力。

• 缺点：

• 计算复杂度高，尤其大数据场景。

• 带宽选择敏感，需谨慎优化。

• 局部共线性或样本不足可能影响估计稳定性。

6. 应用场景

• 适用领域：房地产价格、环境污染、社会经济现象（犯罪率、人口增长）等空间异质性显著的问题。

• 工具支持：R语言（spgwr、GWmodel包）、Python（PySAL）、ArcGIS等。

7. 扩展与对比

• 多尺度GWR（MGWR）：允许不同变量使用不同带宽，提升灵活性。

• 与空间自回归模型区别：GWR处理异质性，空间滞后（SLM）或误差模型（SEM）处理依赖性，二者可结合使用。

8. 注意事项

• 数据要求：足够样本量以支持局部估计。

• 模型诊断：检查残差空间自相关、共线性及带宽敏感性。

• 结果解释：需结合地理背景，避免过度解读局部波动。

总结：GWR通过空间加权和局部回归，有效捕捉变量关系的空间变化，是分析地理数据异质性的有力工具。实际应用中需权衡模型复杂度与解释力，结合稳健的统计检验与可视化手段。