以下是行列式与矩阵的异同点总结，关键信息均来自权威文献：

一、定义差异

1. 矩阵

• 定义：二维数组（数表），由行和列组成，元素可以是任意实数或复数。

• 符号：用中括号 [] 或 \begin{bmatrix} ... \end{bmatrix} 表示。

• 结构：行数和列数可以不同（如 $3 \times 2$ 矩阵）。

2. 行列式

• 定义：方阵（行数=列数）的标量值，通过特定规则计算得出。

• 符号：用双竖线 |A| 或 \det(A) 表示。

• 结构：仅对方阵有定义，行数和列数必须相等。

二、性质差异

三、几何意义差异

1. 矩阵

• 几何意义：代表线性变换，如将向量映射到另一空间。

• 示例：二维矩阵 $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ 表示x轴拉伸2倍，y轴拉伸3倍。

2. 行列式

• 几何意义：表示变换后体积的缩放比例（绝对值）和方向（符号）。

• 示例：二维行列式 $ad - bc$ 表示由矩阵列向量张成的平行四边形面积。

四、应用场景差异

1. 矩阵

• 线性方程组求解、图像处理（像素变换）、机器学习（数据降维）。

• 示例：在计算机图形学中，矩阵用于表示旋转、平移等操作。

2. 行列式

• 判断线性方程组解的存在性、计算矩阵逆、特征值分析。

• 示例：若行列式为0，则线性方程组可能无解或无穷多解。

五、相同点

1. 线性代数基础：均为线性代数的核心概念，密切相关。

2. 依赖关系：行列式是方阵的属性，矩阵运算可能影响行列式的值（如交换行列变号）。

总结

如需进一步理解，可参考来源网页中的具体推导与案例。