假设有一副54张牌的扑克，每次有放回的抽取一张，当每张牌都至少抽取一次之后总的抽取次记为x, 求x的期望值

蒙特卡洛模拟python版本：

import random
import time

begin_time = time.perf_counter()

result_num = []

cards_num = list(range(54))

for i in range(1000000):
    result = []
    count = 0
    while len(result) < 54:
        num = random.choice(cards_num)
        if num not in result:
            result.append(num)
        count += 1
    result_num.append(count)
end_time = time.perf_counter()
print("运算耗费的时间为：{}".format(end_time - begin_time))
print("平均期望为:{}".format(sum(result_num)/len(result_num)))

运算耗费的时间为：440.74856580002233

平均期望为:247.005991

蒙特卡洛模拟c++版本：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <random>
#include <numeric>
#include <chrono>

int main() {
    // 获取起始时间点
    auto start = std::chrono::high_resolution_clock::now();
    std::vector<int> result_num;
    std::vector<int> cards_num(54);
    std::iota(cards_num.begin(), cards_num.end(), 0);  // Fill with numbers from 0 to 53

    // Random number generator
    std::random_device rd;
    std::mt19937 gen(rd());

    for (std::size_t i = 0; i < 1000000; ++i) {
        std::vector<int> result;
        result.reserve(54); // Reserve space for 54 cards
        int count = 0;

        while (result.size() < 54) {
            std::uniform_int_distribution<> dis(0, 53);
            int num = dis(gen);
            //std::cout << "num = " << num << std::endl;

            if (std::find(result.begin(), result.end(), num) == result.end()) {
                result.push_back(num);
            }
            ++count;
        }
        result_num.push_back(count);
    }

    // Calculate the average
    double sum = std::accumulate(result_num.begin(), result_num.end(), 0LL);
    double average = sum / result_num.size();
    // 获取结束时间点
    auto end = std::chrono::high_resolution_clock::now();

    // 计算耗时
    std::chrono::duration<double> duration = end - start;

    // 输出耗时，单位为秒
    std::cout << "Function execution time: " << duration.count() << " seconds" << std::endl;

    std::cout << "average : " << average << std::endl;

    return 0;
}

Function execution time: 78.02 seconds

average : 247.033

c++版本只有python版本的5-6倍，看起来c++版本写的效率不怎么高。

chatgpt的答案：

然后我们乘以54：

E(T54)=54×4.565≈246.51

因此，所有54张牌至少被抽取一次所需的抽取次数的期望值大约是 246.51 次。

总结

在有放回地抽取54张牌，直到每张牌都至少被抽取一次的情况下，总的抽取次数的期望值约为 246.51 次。